AbstractsMathematics

Elliptic Partial Differential Equations in Geometric Analysis and the Calculus of Variations

by Aleksis Koski




Institution: University of Helsinki
Department:
Year: 2016
Keywords: matematiikka
Posted: 02/05/2017
Record ID: 2064856
Full text PDF: http://hdl.handle.net/10138/159209


Abstract

The subject of this thesis is Elliptic PDE's that appear in the fields of Geometric Analysis and The Calculus of Variations, such as the Beltrami equation and its generalizations. The main results are the existence and uniqueness of solutions in function spaces such as the Sobolev-spaces, as well as regularity and properties of solutions. The thesis contains four scientific articles on the subject. The first two articles contain results on generalized Beltrami equations, where the solvability is investigated using functional analytic methods. New results for the corresponding singular integral operators are also found, such as finding the L2-norm of the Beurling transform for the Dirichlet problem. The third and fourth papers cover properties of solutions to Euler-Lagrange and Hopf-Laplace equations for certain energy functionals. One of the main results is the generalization of the classic Radó-Kneser-Choquet theorem for the p-harmonic energy in the plane. The proof is based on a new subharmonicity result for the Jacobian of a solution, and similar other new subharmonicity results are also obtained in the thesis. Väitöskirja käsittelee matematiikassa esiintyviä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä joissa esiintyy tuntematon funktio sekä sen (osittais-) derivaattoja. Motivaatio tutkia näitä yhtälöitä perustuu siihen, että niillä voi mallintaa esimerkiksi fysikaalisia suureita kuten lämpöä ja ääntä joiden suuruus usein riippuu myös niiden muutosnopeudessa. Tässä väitöskirjassa tutkitaan erilaisia ns. elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä jotka nousevat esille matematiikan osa-alueissa nimeltä Geometrinen Analyysi ja Variaatiolaskenta. Peruskysymyksiä johon väitöksessä vastataan on kyseisten yhtälöiden ratkaisujen olemassaolo, yksikäsitteisyys, ja niiden säännöllisyysominaisuudet kuten derivoituvuus. Väitöksessä osoitetaan esimerkiksi että tietynlaisilla yleistetyillä Beltrami-tyyppisillä yhtälöillä on aina olemassa yksikäsitteinen ratkaisu. Beltrami-tyyppiset yhtälöt ovat yleistyksiä klassisesta Beltrami-yhtälöstä, jonka avulla mallinnetaan matematiikassa kvasikonformikuvauksia: kuvauksia jotka jossain määrin venyttävät alkuperäistä kuvaa vain rajoitetussa määrin pienellä skaalalla. Lisäksi väitöksessä tutkitaan energiafunktionaaleja ja niiden minimoivia kuvauksia, jotka tyypillisesti totetuttavat myös sopivanlaisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Yksi päätuloksista on klassisen Radó-Kneser-Choquet'n lauseen yleistäminen ns. p-harmonisille kuvauksille. Lause näyttää, että p-harmonisen yhtälön ratkaisut ovat homeomorfisia tasoalueen sisällä mikäli niiden reuna-arvot ovat homeomorfisia. Tämän voi karkeasti hahmottaa tuloksena joka kertoo, että tietynlainen elastinen kappale ei voi venytessään lytistyä kasaan ellei lytistymistä tapahdu jo kappaleen reunalla.