AbstractsMathematics

In the early 1920's Karl Löwner (later Charles Loewner) introduced a simple differential equation that encodes domains in the complex plane changing continuously in time t into a real-valued function of t. This thesis centers around this equation, called the Loewner Equation, and has three separate parts. The first part proves it is satisfied by conformal maps taking the complement of a simple curve in the upper half plane to the upper half plane. The second part proves the existence and uniqueness of a conformal solution to the Loewner Equation with continuous driving function. Although by no means new results, the intention is nevertheless to provide them from a fresh point of view by means of compactness, rigor and variations of selected partial proofs. The third part tentatively explores new domains. It starts with treating the existence of a generating curve for the domain of the Loewner Equation with Hölder-1/2 continuous driving function of norm less than 4. In establishing the existence of such a curve, finding a bound for the absolute value of the Loewner function's derivative is crucial. We reproduce the proof of the existence of such a bound by methods of S. Rohde, H. Tran and M. Zinsmeister, and note that these methods seem suitable for investigating similar bounds for the argument of the same function for driving-norm less than 2√2. We present a result for norm less than √2, but otherwise reach the conclusion that the methods considered are unable to produce the desired bound for norms in the interval [√2, 2√2). The explicit traces and maps of logarithmic spirals are calculated showing that the correct upper limit for the norm regarding the existence of a non-trivial bound to the argument is no larger than 2√2. ; Karl Löwner (senare Charles Loewner) introducerade på 1920-talet en enkel differentialekvation som kodar information om kontinuerligt växande domäner i komplexa planet i en reellvärd funktion över tid. Denna uppsats behandlar denna ekvation, kallad Löwnerekvationen och har tre separata delar. I den första visar vi att differentialekvationen uppfylls av konforma avbildningar som tar komplementet av enkla kurvor i  övre halvplanet till övre halvplanet. I den andra delen visar vi existensen av- och entydigheten hos en konform lösning till Löwnerekvationen med kontinuerlig drivfunktion. Avsikten  är att presentera resultaten från en ny synvinkel, medelst variationer av utvalda bevis och fokus på kompakthet. Den tredje delen utforskar nya områden. Vi börjar med att behandla existensen av en genererande kurva för domänen hos lösningen till Löwnerekvation med Hölder-1/2 kontinuerlig drivfunktion av norm mindre än 4. Beviset för existensen av en sådan kurva förlitar sig på en övre begränsning till absolutbeloppet av derivatan till Löwnerekvationens lösning. Vi reproducerar beviset för en sådan begränsning med metoder hämtade från S. Rohde, H. Tran och M. Zinsmeister, och noterar att dessa verkar lämpliga för att finna en liknande begränsning för argumentet till samma funktion med…