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Reducción de tipo Hopf de un modelo cuártico : aplicaciones en dinámica rotacional y orbital= Hopf fibration reduction of a quartic model: applications to rotational and orbital dynamics

by Francisco Crespo Cutillas




Institution: Universidad de Murcia
Department:
Year: 2015
Keywords: Hopf; Álgebras de Mecánica; Geometría; Ciencias aplicadas
Record ID: 1129390
Full text PDF: http://hdl.handle.net/10803/286508


Abstract

Esta tesis aborda los sistemas más conocidos de la mecánica clásica de forma unificada. Nuestro objetivo principal es desarrollar un marco de trabajo común para el estudio de perturbaciones, dicha tarea se realiza desde un punto de vista geométrico. Hemos estructurado esta memoria en tres partes: Parte I. Preliminares en Mecánica Clásica y Geometría: En esta primera parte recogemos herramientas que serán usadas a lo largo de nuestro estudio. En el primer capítulo fijamos la notación y se presentan algunos resultados básicos. En el segundo estudiamos el Sistema Extendido de Euler, como un problema de valor inicial paramétrico. Este enfoque permite derivar las principales propiedades de las funciones elípticas. En concreto, las conocidas relaciones cuadráticas entre funciones elípticas y la transformación de Jacobi para el módulo elíptico se obtienen de nuestro análisis. Parte II. Reducción de tipo Hopf de un modelo cuártico: En el tercer capítulo estudiamos una generalización de la fibración de Hopf clásica. Seguiremos la misma metodología que en la fibración de Hopf clásica, pero el cuerpo complejo será reemplazado por cuaternios. En el cuarto capítulo usamos las componentes de la representación cuaterniónica de la aplicación de Hopf para proponer una familia de Hamiltonianos multiparamétrica. Para una elección apropiada de los parámetros y considerando una regularización de la variable independiente, cuando sea necesario, algunos modelos destacados de la mecánica clásica tales como el sistema de Kepler, el flujo geodésico, el oscilador isotrópico de cuatro dimensiones y el sólido rígido libre aparecen como casos particulares. El análisis del modelo cuártico se lleva a cabo a través de una doble reducción. Por un lado, el sistema es geométricamente reducido, este modelo es un ejemplo detallado de reducción singular, en la cual la correspondiente reconstrucción es también proporcionada. Por otro lado, la reducción simpléctica llevada a cabo a través del uso de nuevas coordenadas canónicas es analizada. En concreto, se muestra la relación entre la reducción geométrica y simpléctica y se proporciona la formulación explícita para todos los cambios de variables que son usados. Parte III. Aplicaciones a la dinámica Roto-Orbital: Esta parte está dedicada al estudio de la dinámica de actitud y el movimiento orbital de modelos que aproximan un asteroide o un satélite con una triaxialidad genérica, bajo los efectos de una perturbación gravitacional. Este problema, denominado problema completo de los dos cuerpos, es un sistema dinámico Hamiltoniano no integrable, que requiere el uso de teorías de perturbaciones para su análisis. Dentro del contexto de Poincaré y Arnold, una teoría de perturbación debería ser desarrollada a partir un orden cero integrable y no degenerado. Nosotros exploraremos nuevos candidatos para el orden cero llamados intermediarios. La idea de los intermediarios consiste en definir un sistema integrable simplificado del problema en cuestión. En el quinto capítulo recordamos el concepto de intermediario,…